Exemplo De Cálculo Do Primeiro Pivotamento Gauss

Método de Gauss e Pivotamento Parcial: Exemplo De Cálculo Do Primeiro Pivotamento Pelo Método De Gauss

Exemplo De Cálculo Do Primeiro Pivotamento Pelo Método De Gauss – A resolução de sistemas lineares é uma tarefa fundamental em diversas áreas da ciência e engenharia. O Método de Gauss, também conhecido como eliminação gaussiana, é um algoritmo eficiente para resolver esses sistemas. No entanto, a precisão dos resultados pode ser comprometida em certas situações, levando à necessidade de técnicas como o pivotamento parcial. Vamos explorar o método, o pivotamento, e seus impactos na resolução de sistemas lineares.

Introdução ao Método de Gauss e Pivotamento

O Método de Gauss consiste em transformar um sistema de equações lineares em uma forma triangular superior através de operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada. Essas operações incluem a troca de linhas, multiplicação de uma linha por um escalar não nulo, e a adição de um múltiplo de uma linha a outra. Após a triangularização, a solução é obtida por substituição regressiva.

O pivotamento parcial, por sua vez, é uma estratégia que visa melhorar a estabilidade numérica do método, escolhendo o elemento com maior valor absoluto como pivô em cada etapa da eliminação.

A necessidade do pivotamento parcial surge quando o elemento pivô (o primeiro elemento da linha que será usada para eliminar os elementos abaixo dele) é muito pequeno ou zero. Isso pode levar a erros de arredondamento significativos, especialmente quando se trabalha com computadores que possuem precisão limitada. O pivotamento parcial, ao selecionar o maior elemento como pivô, minimiza esses erros.

As vantagens do pivotamento parcial incluem maior precisão e estabilidade numérica, reduzindo o impacto de erros de arredondamento. Por outro lado, a desvantagem principal é o aumento na complexidade computacional devido à necessidade de procurar o maior elemento em cada coluna. A escolha de um pivô pequeno pode amplificar os erros de arredondamento, levando a resultados imprecisos ou até mesmo divergentes.

O método de Gauss sem pivotamento é mais simples e rápido, mas pode ser instável para sistemas mal-condicionados.

Vamos comparar o método de Gauss com e sem pivotamento usando um exemplo simples 2×2:

[[2, 1], [1, 2]]

[5, 8]

[[2, 1], [0, 3/2]]

[5, 11/2]

[[1, 0], [0, 1]]

[2, 11/3]

[[1, 2], [2, 1]]

[8, 5]

[[1, 2], [0, -3]]

[8, -11]

[[1, 0], [0, 1]]

[2, 11/3]

Primeiro Pivotamento: Passos e Procedimentos

Encontrar o primeiro pivô envolve identificar o elemento com o maior valor absoluto na primeira coluna da matriz.

A troca de linhas é então realizada para colocar este elemento na posição (1,1). A eliminação de Gauss para a primeira variável segue, zerando os elementos abaixo do pivô.

Exemplo passo-a-passo do cálculo do primeiro pivotamento em um sistema 3×3:

1. Matriz e Vetor: Considere o sistema:

       2x + y - z = 8
       -3x - y + 2z = -11
       -2x + y + 2z = -3
        

   Matriz A:

   [[2, 1, -1], [-3, -1, 2], [-2, 1, 2]] 

   Vetor b:

   [8, -11, -3] 

2. Encontrando o Pivô: O maior elemento em valor absoluto na primeira coluna é 3.
3. Troca de Linhas: Trocamos a primeira linha com a segunda linha:
   Matriz A:

   [[-3, -1, 2], [2, 1, -1], [-2, 1, 2]] 

   Vetor b:

   [-11, 8, -3] 

4. Eliminação de Gauss: Realizamos operações elementares para zerar os elementos abaixo do pivô.
   Por exemplo, para zerar o elemento (2,1), adicionamos (2/3) da primeira linha à segunda linha. Processos similares são realizados para a terceira linha.
5. Resultado após o primeiro pivotamento: O resultado após a eliminação da primeira variável será uma nova matriz e vetor, com o elemento (1,1) sendo o pivô e os elementos abaixo dele sendo zero. Os cálculos exatos dependem das operações elementares utilizadas.

Exemplos de Cálculo do Primeiro Pivotamento

Aqui apresentamos exemplos com diferentes cenários para o primeiro pivotamento.

Primeiro Pivô igual a 1

[[1, 2, -1], [2, 1, 1], [-1, 1, 2]]

[1, 2, 3]

[[1, 2, -1], [0, -3, 3], [0, 3, 1]]

[1, 0, 4]

Primeiro Pivô diferente de 1

[[2, 1, -1], [-3, -1, 2], [-2, 1, 2]]

[8, -11, -3]

[[1, 0.5, -0.5], [-3, -1, 2], [-2, 1, 2]]

[4, -11, -3]

[[1, 0.5, -0.5], [0, 0.5, 0.5], [0, 2, 1]]

[4, 1, 5]

Um exemplo onde o pivotamento é necessário para evitar erros de arredondamento seria um sistema com coeficientes muito pequenos na primeira linha, comparados aos das demais.

Sem pivotamento, erros de arredondamento poderiam ser amplificados durante a eliminação.

Considerações sobre a Escolha do Pivô, Exemplo De Cálculo Do Primeiro Pivotamento Pelo Método De Gauss

A estratégia mais comum é escolher o pivô com o maior valor absoluto na coluna. Essa escolha maximiza a estabilidade numérica, minimizando o crescimento dos erros de arredondamento. A escolha do pivô impacta diretamente na precisão do resultado, sendo que a escolha do maior valor absoluto geralmente proporciona melhor precisão.

Comparando a estabilidade numérica, a estratégia do maior valor absoluto é geralmente superior à escolha do primeiro elemento não nulo. A escolha do primeiro elemento não nulo é mais simples, mas pode levar a resultados menos precisos em casos onde os elementos são muito pequenos ou mal-condicionados.

Note que os valores numéricos aproximados na tabela acima dependeriam do sistema de equações usado como exemplo. O objetivo é mostrar a diferença qualitativa no erro relativo entre as duas estratégias.

Implementação Computacional

O algoritmo para calcular o primeiro pivotamento envolve a busca do elemento com maior valor absoluto na primeira coluna, a troca de linhas correspondente, e a eliminação de Gauss para a primeira variável. Um pseudocódigo para a implementação poderia ser:

 
funcao primeiro_pivotamento(A, b):
  n = numero_de_linhas(A)
  para i de 1 ate n:
    maximo = abs(A[i,1])
    linha_maximo = i
    para j de i+1 ate n:
      se abs(A[j,1]) > maximo:
        maximo = abs(A[j,1])
        linha_maximo = j
    fim para
    troca_linhas(A, i, linha_maximo)
    troca_linhas(b, i, linha_maximo)
    para j de i+1 ate n:
      multiplicador = A[j,1] / A[i,1]
      para k de 1 ate n:
        A[j,k] = A[j,k]
-multiplicador
- A[i,k]
      fim para
      b[j] = b[j]
-multiplicador
- b[i]
    fim para
  fim para
  retorna A, b
fim funcao

 

Possíveis erros de programação incluem erros de índice, erros na troca de linhas, e erros na implementação da eliminação de Gauss. Considerações de eficiência incluem a otimização da busca do pivô e o uso de estruturas de dados eficientes.

O que acontece se não houver um pivô não nulo?

Se não houver um pivô não nulo na coluna, o sistema é singular (sem solução única ou infinitas soluções). É hora de investigar se o sistema é inconsistente ou possui infinitas soluções.

Existe uma forma de visualizar o pivotamento graficamente?

Não diretamente. A visualização gráfica é mais adequada para representar os espaços vetoriais e soluções geométricas. O pivotamento é um processo algébrico que atua sobre a representação matricial do sistema.

Como o pivotamento parcial se compara ao pivotamento total?

O pivotamento parcial troca linhas, enquanto o total troca linhas e colunas. O total é mais estável, mas mais computacionalmente caro.